Desacceleració
L’única part de la tirada que és realment previsible.
La desacceleració de la bola a la pista segueix una corba suau determinada per la fricció i la resistència. A partir d’uns quants temps de revolució es pot estimar el moment de sortida amb una precisió d’una fracció de segon. La dispersió posterior desfà gran part d’aquesta precisió.
El model
Considera que la bolamaterialBolaLa petita bola que es llança per la pista en direcció contrària al rotor. Les boles modernes són d’ivorina o tefló i mesuren 18–21 mm.Llegeix-ho tot → es desaccelera sota l’acció d’un terme constant a (fricció de rodament) i d’un terme proporcional a la velocitat b·v (resistència de l’aire i pèrdues dependents de la velocitat): dv/dt = −(a + bv). La solució és una aproximació exponencial cap a la velocitat crítica de sortida. Per tant, el temps de volta T = 2πr/v augmenta a cada volta en una quantitat creixent. Ajustant a i b a partir de les primeres voltes, s’obtenen les voltes restants i el moment de sortida. No hi ha res d’exòtic: és mecànica de primer curs aplicada a una bola en una pista.
Què aporta l’estimació
Un moment de sortida amb una precisió de 0,2 segons, combinat amb una velocitat del rotormaterialRotorLa part giratòria del cilindre que porta les caselles.Llegeix-ho tot → de 15 casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot → per segon, situa la casella sota el punt de sortida amb un error d’unes tres caselles. Aquesta és la bona notícia per a un predictor. La mala és que la bola travessa aleshores el pla inclinatmaterialPla inclinatLa zona inclinada entre la pista de la bola i les caselles, on hi ha els deflectors.Llegeix-ho tot →, topa amb un deflectormaterialDeflectorUn dels obstacles metàl·lics del pla inclinat que dispersen la bola quan cau. També: canoa, diamant, agulla.Llegeix-ho tot → i rebota entre els separadorsmaterialSeparadorEl divisor metàl·lic entre dues caselles del cilindre.Llegeix-ho tot →, i la casella final es reparteix en una distribució de 20 a 30 caselles d’amplada. La precisió de la fase de pista queda absorbida en bona part per la dispersió de la fase de sortida.
Què en queda
Si la distribució de dispersió té una moda, de manera que la bola aterra prop de la casella de sortida més sovint que no pas a l’atzar, apostar a un sectorcilindreSectorUn arc continu de caselles del cilindre, a diferència d'un grup de caselles del tapet.Llegeix-ho tot → al voltant de la casella prevista dona un petit avantatge. Small i Tse (2012) ho van mesurar al laboratori amb una càmera i van trobar índexs d’encert del sector previst prou alts per convertir en positiu l’avantatge de la casamatemàtiquesAvantatge de la casaLa part de cada aposta que el casino es queda de mitjana: el 2,70% en la ruleta europea.Llegeix-ho tot → en uns quants punts percentuals. Les seves condicions —vista completa des de dalt, un cilindre conegut i apostes fetes després del llançament— no existeixen en una taula en directe.
Què canvia d’una hora a l’altra
Les dues constants no són fixes en un cilindre. Els Eudaemons, que van cronometrar un cilindre de casino durant anys a la dècada de 1970, van descobrir que l’aire frena més que la pista, i que la bola importa: una bola de tefló perdia velocitat el doble de pressa que una feta d’un material compost de bola de billar. També veien com les prediccions es desplaçaven entre un 5 i un 10% cada hora quan s’obria una porta o canviava el temps, perquè l’aire humit o dens frena abans la bola. Per això el seu programa guardava ajustos separats per al ritme de desacceleració de la bola i per a la velocitat amb què surt de la pista, i el jugador els reiniciava a cada taula i sempre que les prediccions començaven a derivar.
Per què el Laboratori ho explica
No perquè ningú ho pugui fer. És per mostrar en què consisteix realment l’aleatorietat del joc: una fase determinista que els casinos protegeixen tancant aviat les apostes i imposant un nombre mínim de revolucions, i una fase caòtica que protegeixen amb deflectors i separadors baixos. Qui ho entén, entén per què el 2,70% està protegit.
Fer els càlculs personalment
Cronometra durant tres voltes el pas de la bola per davant d’un deflector en qualsevol retransmissió i extrapola; la major part de les vegades encertaràs la volta de sortida, que és la fase determinista funcionant tal com s’ha descrit. Després observa on aterra realment la bola respecte de la casella sota el punt de sortida i porta’n el recompte durant cinquanta tirades. El recompte és una distribució de dispersió, i la seva amplada respon a «per què no es pot vèncer?».
Fórmula
Preguntes
No. La fricció varia amb la pols, la humitat i el desgast. Els predictors el reajusten a cada tirada.
Tres donen una estimació aproximada; cinc o sis, una de bona. El mínim de quatre dels estudis deixa poc temps per apostar i, en tot cas, les apostes es tanquen.
Uns quants, breument, amb dispositius, abans que els casinos s’hi adaptessin i arribessin les lleis. Vegeu joc d’avantatge.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
En el model il·lustratiu de Thorp d’una bolamaterialBolaLa petita bola que es llança per la pista en direcció contrària al rotor. Les boles modernes són d’ivorina o tefló i mesuren 18–21 mm.Llegeix-ho tot → que s’alenteix, si una volta a la pista dura T segons, a la bola li resten 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 voltes abans de sortir de la pista. Quantes en resten després d’una volta de mig segon, i després d’una d’un segon sencer? Quant desplaça la predicció un error de 0,012 segons a T = 0,8?
Mostra la solució
Resposta Unes 9,5 voltes després d’una volta de mig segon i 2,85 després d’una d’un segon. L’error desplaça la predicció unes 0,12 voltes, aproximadament 4½ casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot →.
T = 0,5: 3T/20 = 0,075 i e^0,075 ≈ 1,0779, de manera que 1/0,0779 ≈ 12,84 i 12,84 − 3,33 ≈ 9,51 voltes. T = 1: e^0,15 ≈ 1,1618, 1/0,1618 ≈ 6,18 i 6,18 − 3,33 ≈ 2,85. Una volta ràpida deixa moltes voltes per recórrer, i una volta el doble de lenta en deixa menys d’un terç.
Amb T = 0,8 la fórmula dona 4,51 voltes; amb T = 0,812 en dona 4,39. Un error de 12 mil·lèsimes de segon, aproximadament el temps que la bola tarda a rodar la seva pròpia amplada, desplaça la predicció 0,12 voltes: unes 4½ caselles d’un cilindre de 37. Aquest sol error és gairebé tot el pressupost de 5,5 caselles que Thorp reserva per mesurar la bola (vegeu Joc amb avantatge), i explica per què és el rellotge, no l’aritmètica, el que limita un predictor.
Alleujament còmic
Previsible fins a la sortida. Després, els deflectors.
Fonts
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”