Desviació estàndard de la ruleta
La desviació estàndard de la ruleta, l'arrel quadrada de la variànciamatemàtiquesVariànciaMesura de com es dispersen els resultats al voltant del valor esperat. És alta per al ple i baixa per a les apostes de diners iguals.Llegeix-ho tot →, és la distància típica entre un resultat i el seu valor esperat.
Per cada $1 apostat, σ és 5,84 per a un ple i 1,00 per al vermell. Per a una sessió, multiplica per l'aposta i per l'arrel quadrada del nombre de tirades.
Regla pràctica
Aproximadament dos terços de les sessions queden dins d'una σ del valor esperat i el 95% dins de dues. En 100 tirades al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → amb $10 (esperat −$27, σ = $100), la majoria de sessions queden entre −$127 i +$73, i gairebé totes entre −$227 i +$173. Un resultat fora d'aquest interval no és prova de res, excepte que una sessió de cada vint ho fa.
Per què √N
La pèrdua esperadamatemàtiquesPèrdua esperadaEl valor esperat multiplicat per l’import total apostat; l’import que es perd de mitjana al llarg d’una sessió o d’un període.Llegeix-ho tot → creix en proporció a N; la dispersió creix en proporció a √N. Amb N petit, la dispersió domina i les sessions són cara o creu amb una lleugera inclinació. Amb N gran, la pèrdua supera la dispersió. El punt de creuament, on la pèrdua esperada equival a una desviació estàndardmatemàtiquesDesviació estàndardL'arrel quadrada de la variància; la distància típica entre un resultat i el valor esperat.Llegeix-ho tot →, és N = (σ/avantatge)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 tirades en diners iguals i (5,84/0,027)² ≈ 46.800 per als plensapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot →. Per sota d'aquestes xifres decideix la sort; per sobre, l'avantatge.
Com usar-la
Per valorar si una sessió ha estat inusual, calcula (resultat − VE)/σ. Un apostador de $10 al vermell que acaba 100 tirades amb +$150 té (150 + 27)/100 = 1,77σ, un resultat que es dona una vegada de cada 25: afortunat, no extraordinari. Un apostador a ple amb el mateix +$150 és a 0,3σ: una nit ordinària. El mateix resultat en dòlars significa coses diferents segons l'aposta.
Error estàndard d'una proporció
La mateixa aritmètica diu quantes tirades calen per veure l'avantatge a les dades. L'error estàndard d'una proporció de victòries observada és √(p(1 − p)/N). Per al vermell amb N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1.000) ≈ 1,6%. La diferència entre una moneda justa i el vermell és 1,35%, així que després de 1.000 tirades encara no els pots distingir amb confiança. Després de 10.000, l'error estàndard és 0,5% i sí que pots. Per això detectar un biaix del cilindre requereix tantes tirades.
Una precaució sobre l'asimetria
Els resultats d'un ple s'allunyen molt d'una distribució normal en una sessió curta: la majoria de sessions són un −$10 estable per tirada amb salts ocasionals de +$350. La regla de ±1σ descriu bé la dispersió, però no la forma, fins que N arriba als centenars. Per a les apostes de diners igualsapostaAposta de diners igualsVermell/negre, senar/parell, passa/manca. 18 números, paga 1:1.Llegeix-ho tot →, l'aproximació normal és bona des d'unes 30 tirades.
Fórmula
Preguntes
Demostra que has jugat unes 40 sessions o que eres en la sessió afortunada, una de cada quaranta. Repeteix-ho.
Oscil·la cada vegada menys: l'error estàndard de la mitjana és σ/√N. Amb N = 10.000 és l'1% de l'aposta.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
En 100 tirades d’un cilindre europeu, una unitatdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot → al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → va per davant amb almenys 51 guanys, i una unitat a un pleapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot → va per davant si el seu número surt almenys 3 vegades. Fes servir la corba de campana per estimar totes dues probabilitats, i compara-les amb les respostes exactes.
Mostra la solució
Resposta Vermell: la corba de campana dona 35,6% i la resposta exacta és 35,5%. Ple: la corba dona 55,0% i la resposta exacta és 50,9%. La drecera funciona per al vermell i falla per al número sol.
Vermell: els guanys tenen una mitjana de 100 × 18/37 = 48,6, amb una dispersió de √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Anar per davant vol dir 51 o més; el punt intermedi, 50,5, és 0,37 dispersions per sobre de la mitjana, i la corba de campana situa el 35,6% per damunt. Sumar les probabilitats exactes de 51, 52 … 100 guanys dona 35,5%.
Ple: els encerts tenen una mitjana de 100/37 = 2,70, amb una dispersió de √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tres encerts o més és per damunt de 2,5, 0,12 dispersions per sota de la mitjana: 55,0% segons la corba. Exactament, és 1 menys les probabilitats de 0, 1 i 2 encerts, 6,5% + 17,9% + 24,7%, que deixen 50,9%.
La corba de campana necessita molts resultats a banda i banda de la mitjana. El vermell en té després de 100 tirades; un número que surt menys de tres vegades de mitjana no. La corba fins i tot assigna 8,7% a «cap encert», quan la probabilitat real és 6,5%. Taylor (2021) posa la binomial i la corba de campana costat per costat de la mateixa manera.
Alleujament còmic
Una sessió de cada vint queda fora de dues sigmes. Sempre hi ha algú a la cua.
Fonts
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2a ed.