El criteri de Kelly i la ruleta

El criteri

John Kelly (1956) es va preguntar com un jugador amb un avantatge conegut havia de dimensionar les apostes per maximitzar el creixement a llarg termini del capital de jocdinersCapital de jocLa quantitat total reservada per jugar. La gestió del capital de joc consisteix a decidir quant n’arrisques en cada aposta i sessió.Llegeix-ho tot →. La resposta, per a una aposta que paga b a 1 amb probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → de guanyar p i probabilitat de perdre q = 1 − p, és apostar la fracció f* = (bp − q) / b del capital de joc. Un f* positiu vol dir aposta aquesta fracció; zero o negatiu vol dir que no apostis. Kelly treballava als Bell Labs, i el seu article, «A new interpretation of information rate», situava el problema en la teoria de la informació de Claude Shannon: un jugador que rep consells per una línia sorollosa, a probabilitats justes, pot fer créixer el capital de joc com a màxim al ritme al qual la línia transmet informació. El 1961 Leo Breiman va demostrar que les apostes de Kelly, a llarg termini, queden per davant de qualsevol estratègia essencialment diferent i assoleixen un objectiu fixat pràcticament en el temps més curt.

Apostar amb Kelly a la ruleta

Per al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Per a un pleapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Tota aposta estàndard dona una fracció de Kelly negativa, perquè tota aposta té un avantatge negatiu, i l’aposta òptima per al creixement és zero. Apostar amb Kelly a la ruleta és una manera formal de dir el que diu la pàgina de l’avantatge de la casa: no hi ha cap import amb el qual una aposta d’esperança negativa faci créixer un capital de joc.

On s’aplicava Kelly

Els jugadors que explotaven biaixos tenien avantatge i un problema de dimensionament. Jagger, els García-Pelayo i els Eudaemons havien de decidir quant apostar sobre el seu avantatge mesurat; apostar massa poc malbarata l’avantatge, mentre que apostar massa posa en risc de ruïna abans que es manifesti. Per a una casellamaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot → que surt 1 de cada 30, Kelly diu 0,57% del capital de joc per tirada en aquell número: amb $10.000, uns $57 per tirada, per a un creixement típic d’aproximadament 0,054% per tirada, o ×1,7 en 1.000 tirades. El guany mitjà és el doble, 0,11% per tirada, però Kelly busca el capital de joc típic, no el mitjà, que unes quantes ratxes molt afortunades inflen. Mig Kelly és l’opció pràctica habitual perquè l’estimació de l’avantatge és incerta.

Jugadors de ruleta famososEls Eudaemons

Típic i mitjà

La diferència entre el capital de joc típic i el mitjà és gran. Considera una casella que surt 1 vegada de cada 25, un avantatge del 44%, la xifra que Thorp dona per al seu dispositiu. Kelly hi aposta l’1,26% del capital de joc. Després de 1.000 tirades, el capital de joc típic ha crescut unes 11,5 vegades, mentre que la mitjana, impulsada per unes quantes ratxes molt afortunades, ha crescut unes 249 vegades. Apostar més que Kelly eleva la mitjana i redueix el resultat típic: amb el doble de l’aposta de Kelly, el capital de joc típic només es duplica, i amb dues vegades i mitja l’aposta de Kelly es redueix, tot i que cada aposta continua tenint un avantatge del 44%. Apostar menys costa poc: la meitat de l’aposta conserva prop de tres quartes parts del creixement.

Quan l’avantatge és una estimació

Kelly assumeix que l’avantatge és conegut. A la taula se n’estima el valor, i normalment l’estimació és massa alta. L’exemple d’Epstein, basat en el 44% de Thorp, és un número que va sortir 49 vegades en 1.225 tirades d’un cilindre de doble zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot →: 1 vegada de cada 25, un avantatge del 44%, una aposta de Kelly de l’1,26%. Però un cilindre de doble zero just té 38 números, i el més freqüent n’arriba a sortir 49 o més en 1.225 tirades aproximadament una vegada de cada nou. El número més freqüent de qualsevol registre és també aquell que més ha afavorit la sort, de manera que fins i tot una casella realment esbiaixada sembla millor en el registre del que és: la maledicció del guanyador. Si de fet aquella casella no està esbiaixada, l’aposta de Kelly és simplement una aposta que perd de mitjana 5,26%. Les respostes habituals són apostar una fracció de Kelly i continuar comptant fins que l’avantatge es mantingui en un registre nou (consulta Com detectar el biaix del cilindre).

Persones amb avantatge

Saber quin és l’avantatge no és el mateix que aprofitar-lo bé. Haghani i Dewey (2016) van donar $25 a 61 persones perquè apostessin durant mitja hora a una moneda que els van dir que sortia cara el 60% de les vegades, amb guanys limitats a $250 (els jugadors només s’assabentaven del límit en arribar-hi). Kelly diu que cal apostar cada vegada el 20% del capital de joc a cara, i els autors estimen que apostes constants del 10–20% arribarien al límit aproximadament el 95% de les vegades. Només el 21% dels jugadors hi va arribar. El 28% es va arruïnar, 18 dels 61 ho van apostar tot a una sola tirada, aproximadament un terç va acabar amb menys dels $25 inicials, i el pagamentdinersPagamentAllò que retorna una aposta guanyadora, expressat com «X a 1» a més de l’aposta retornada.Llegeix-ho tot → mitjà va ser de $91. Només cinc dels 61 havien sentit a parlar del criteri de Kelly. Amb avantatge, la mida de les apostes determina si el conserves; sense avantatge, com en un cilindre just, cap mida no ajuda.

Què cal usar en lloc seu

Sense avantatge, el dimensionament és una qüestió de pressupost, no de creixement: aposta = allò que estàs disposat a gastar per tirada, derivat del pressupost per hora i del ritme de la taula (pàgina de gestió del capital de joc). La contribució de Kelly per al jugador corrent és la claredat de la resposta: zero. Tot el que apostes per sobre de zero és el preu de jugar, escollit per tu, no optimitzat per cap fórmula.

Una nota sobre el Kelly fraccionari i la «gestió de diners»

Els sistemes venuts com a «Kelly per a la ruleta» que recomanen un percentatge fix del capital de joc per aposta són apostes planesestratègiaAposta planaApostar el mateix import a cada tirada. La referència amb què es compara tota progressió.Llegeix-ho tot → amb una aposta decreixent. Perden 2,70% del volum d’apostesdinersVolum d’apostesL’import total apostat durant una sessió o un període, incloent-hi els guanys reapostats. També: handle, action.Llegeix-ho tot → i, com que l’aposta baixa a mesura que perds, fan que la ruïna sigui lenta en lloc d’improbable. És una manera raonable de fer durar un pressupost; no és Kelly, que et diria que paris.

Estratègia d’aposta plana a la ruleta

Fórmula

Preguntes