Problema: el cilindre d’aniversari
Quantes tirades calen abans que es repeteixi algun número? Moltes menys de les que la majoria de gent endevina.
El problema de l’aniversari en un cilindre de 37 casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot →: després de només 8 tirades hi ha una probabilitat superior a la meitat que algun número ja hagi sortit dues vegades. Els jugadors interpreten les repeticions com a patrons; són el comportament esperable d’un cilindre just.
El problema
Gira un cilindre europeu just. Quantes tirades calen fins que la probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → que almenys dues tirades hagin mostrat el mateix número superi la meitat? La majoria de jugadors endevinen cap a 18 o 19, la meitat de 37. La resposta és 8.
La solució
Calcula la probabilitat que no hi hagi cap repetició i resta-la de la unitat. Després de k tirades, p(totes diferents) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Per a k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, per tant p(alguna repetició) ≈ 0,56. Per a k = 14 és 0,93; per a k = 20 és 0,996. La intuïció falla perquè el nombre de parells de tirades creix com k², i qualsevol parell pot coincidir.
Per què importa a la taula
Un tauler de resultats amb els últims 20 números gairebé sempre mostrarà almenys una repetició, sovint dues o tres. Els jugadors veuen «el 17 ha sortit dues vegades en deu tirades» i conclouen que el 17 està calent; l’aritmètica de l’aniversari diu que una repetició en deu tirades passa el 74% de les vegades i que el número repetit és aleatori. El patró és real; el significat, no.
El problema següent
Quantes tirades calen fins que un número concret, posem per cas el 17, hagi sortit dues vegades? És una pregunta diferent amb una resposta molt més gran: l’espera esperada és de 74 tirades, i la probabilitat de dos 17 en 20 tirades és d’aproximadament el 10%. La diferència entre «es repeteix algun número» (8 tirades) i «es repeteix aquest número» (74 tirades) és tota la diferència entre un patró que detectes després i una predicció que fas per endavant.
Prova-ho
Executa el joc de demostració durant deu tirades i mira l’historial. Normalment hi haurà una repetició. Torna’l a executar. El número repetit serà diferent. Fes-ho deu vegades i hauràs vist el problema de l’aniversarimatemàtiquesProblema de l’aniversariQuantes persones calen perquè probablement dues comparteixin aniversari, o quantes tirades calen perquè probablement es repeteixi un número. En un cilindre de 37 caselles, n’hi ha prou amb 8 tirades per tenir una probabilitat de més de la meitat.Llegeix-ho tot →; fes-ho mil vegades (els simuladors poden) i l’hauràs mesurat.
Fórmula
Preguntes
Exactament, amb 37 caselles en lloc de 365 dies. Amb 23 persones s’arriba al 50% per als aniversaris; amb 8 tirades s’arriba al 56% per al cilindre.
50% després d’unes 19 tirades. També és habitual.
No. Ho suggeririen milers de tirades d’un mateix cilindre; una repetició, mai.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
Un tauler de resultats al costat d’un cilindre americà mostra les últimes 16 tirades. Quina probabilitat hi ha que no s’hi repeteixi cap número?
Mostra la solució
Resposta Aproximadament 2,5%: prop de 39 taulers de cada 40 mostren almenys una repetició.
Ves tirada per tirada. La primera pot ser qualsevol cosa. La segona ha d’evitar-la: 37 possibilitats de 38. La tercera ha d’evitar-les totes dues: 36 de 38. La setzena ha d’evitar quinze números: 23 de 38.
Multiplica: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Un tauler sense repeticions és el cas rar. Un tauler amb una repetició no diu res sobre el cilindre.
En deu tirades d’un cilindre europeu, quina probabilitat hi ha que surti exactament cinc vegades el 17? Que algun número, sigui quin sigui, surti cinc vegades o més? I que algun número surti almenys tres vegades en quatre tirades?
Mostra la solució
Resposta El 17 exactament cinc vegades: 1 de cada 315.576. Algun número cinc vegades o més: aproximadament 1 de cada 8.333. Algun número almenys tres vegades en quatre tirades: 1 de cada 349.
El 17 cinc vegades: escull quines cinc de les deu tirades, 252 maneres, cadascuna amb probabilitat (1/37)⁵ × (36/37)⁵. En conjunt, 1 de cada 315.576.
Algun número: cadascun dels 37 números té una probabilitat d’1 de cada 308.325 de cinc encerts o més, cosa que dona 37 de 308.325, o 1 de cada 8.333. El cas rar de dos números amb cinc encerts cadascun es compta dues vegades, però eliminar-lo no canvia res amb aquesta precisió.
Tres vegades en quatre tirades: per a un número, 4 × 36 + 1 = 145 dels 37⁴ resultats possibles; per a qualsevol dels 37 números, 145/37³ = 1 de cada 349.
Per a un cilindre de doble zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot →, les xifres corresponents són 1 de cada 359.275, 1 de cada 9.243 i 1 de cada 368. La diferència entre «17» i «algun número» torna a ser el problema de l’aniversarimatemàtiquesProblema de l’aniversariQuantes persones calen perquè probablement dues comparteixin aniversari, o quantes tirades calen perquè probablement es repeteixi un número. En un cilindre de 37 caselles, n’hi ha prou amb 8 tirades per tenir una probabilitat de més de la meitat.Llegeix-ho tot →: hi ha 37 maneres de sorprendre’s.
Alleujament còmic
Alguna cosa es repeteix aviat. Aquesta cosa és aleatòria.
Fonts
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1.
- Wizard of Odds. «Ask the Wizard», preguntes sobre ruleta.