Problema: quant de temps fins que surti el zero
El zero surt una vegada cada 37 tirades de mitjana. Quant esperes realment, i què implica això per a qui aposta a diners iguals?
L’espera del zero és geomètrica: mitjana de 37 tirades, mediana de 25, i una de cada vint esperes supera les 110 tirades. En una sessió de 200 tirades, qui aposta a diners iguals espera 5,4 zeros i en pot veure entre 1 i 10.
El problema
El zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot → té una probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → d’1/37 en cada tirada. (a) Quina és la probabilitat que no surti cap zero en les properes 37 tirades? (b) Quina és l’espera mediana? (c) En una sessió de 200 tirades amb apostes de diners iguals, quants zeros hauria d’esperar un jugador, i quin n’és l’interval?
Solucions
(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. Més d’un terç de les vegades passen 37 tirades sense cap zero, que és la mateixa aritmètica que fa que «almenys un encert en un pleapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot → en 37 tirades» sigui només el 63,7%. (b) L’espera W és geomètrica; p(W > k) = (36/37)ᵏ; la mediana és el k en què això creua 0,5, és a dir, k ≈ 25. La meitat de les esperes són de 25 tirades o menys i l’altra meitat, més llargues; la mitjana de 37 puja per la cua llarga. (c) Els zeros en 200 tirades segueixen una binomial amb mitjana 200/37 = 5,4 i desviació estàndardmatemàtiquesDesviació estàndardL'arrel quadrada de la variància; la distància típica entre un resultat i el valor esperat.Llegeix-ho tot → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. Un interval del 95% és aproximadament d’1 a 10.
El cost del zero per a qui aposta a diners iguals
Cada zero costa una aposta, i els zeros són tot l’avantatge de les apostes al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot →: en 37 tirades de mitjana, els 18 guanys i les 18 pèrdues es cancel·len, i l’únic zero fa −1/37. En una sessió de 200 tirades a $10, els 5,4 zeros esperats costen $54, que és exactament 200 × $10 / 37. Una sessió amb 2 zeros ha tingut $34 de bona sort; una sessió amb 9 zeros ha tingut $36 de mala sort i semblarà manipulada. En una taula de la partagereglaLa partageRegla francesa: quan surt el zero, es retorna la meitat d’una aposta de diners iguals. Redueix a la meitat l’avantatge de la casa d’aquestes apostes, fins a l’1,35%.Llegeix-ho tot →, cada zero costa mitja aposta i les xifres es redueixen a la meitat.
Regla de la partage a la ruletaEstà manipulada la ruleta en línia? El mite
El seguiment
Quina és la probabilitat de dos zeros seguits? (1/37)² = 1/1.369. En un casino amb 20 taules que fan 50 tirades per hora, això és aproximadament un doble zerovariantDoble zeroLa casella 00 del cilindre americà. La seva presència eleva l’avantatge de la casa del 2,70% al 5,26%.Llegeix-ho tot → en algun lloc cada 1,4 hores. Els jugadors que ho veuen conclouen que el cilindre està espatllat; l’aritmètica diu que és dimarts.
Prova-ho
El simulador de sessions compta els zeros per sessió. Executa 100 tirades uns quants centenars de vegades i representa el recompte: apareixerà l’histograma de dalt, amb la seva cua llarga a la dreta. És de la cua d’on surten les històries.
Fórmula
Preguntes
No en un de just. En un cilindre esbiaixatlaboratoriCilindre esbiaixatUn cilindre els defectes físics del qual fan que algunes caselles tinguin una probabilitat superior a 1/37. És rar i només es pot detectar amb milers de tirades registrades.Llegeix-ho tot → podria ser-ho qualsevol casellamaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot →, i caldrien milers de tirades per saber-ho.
És una aposta del 2,70% com qualsevol altra. Canvia la forma de la sessió (un zero esdevé un guany), però no el cost.
Perquè la distribució de les esperes és asimètrica: moltes esperes curtes i unes quantes de molt llargues.
Alleujament còmic
Mitjana 37, mediana 25 i una cua llarga on viuen les llegendes.
Fonts
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.