Avantatge de la casa a la ruleta
La part de cada aposta que el casino es queda de mitjana.
Ruleta europea: 2,70% en cada aposta estàndard, perquè els pagaments es calculen com si hi hagués 36 caselles i n'hi ha 37.
Derivació
Les probabilitats justes d'un pleapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot → serien 36 a 1, perquè hi ha 36 maneres de perdre per cada manera de guanyar. El casino paga 35 a 1. La unitatdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot → que falta, repartida entre 37 resultats igualment probables, és 1/37 = 2,70% de l'aposta per tirada. La mateixa diferència apareix en cada pagamentdinersPagamentAllò que retorna una aposta guanyadora, expressat com «X a 1» a més de l’aposta retornada.Llegeix-ho tot → perquè cada pagament fa servir la regla 36/n − 1: un cavallapostaCavallDos números adjacents, paga 17:1.Llegeix-ho tot → paga 17 en lloc de 17,5, una dotzenaapostaDotzena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Llegeix-ho tot → 2 en lloc de 2,083, el vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → 1 en lloc de 1,056. La diferència és sempre 1/n unitats per guany, i n/37 guanys per tirada, de manera que sempre és 1/37 per tirada.
Avantatge i retenció
L'avantatge és la pèrdua esperadamatemàtiquesPèrdua esperadaEl valor esperat multiplicat per l’import total apostat; l’import que es perd de mitjana al llarg d’una sessió o d’un període.Llegeix-ho tot → per unitat apostada: 2,70% per tirada. La retenciódinersRetencióLa part dels diners que els jugadors porten a la taula i que el casino conserva realment. És superior a l’avantatge de la casa perquè els guanys es tornen a apostar.Llegeix-ho tot → és allò que el casino es queda realment dels diners que has dut a la taula, i és molt més alta perquè tornes a apostar els guanys. Una compra de fitxestaulaCompra de fitxesL’intercanvi d’efectiu per fitxes a la taula. Es fa entre tirades, col·locant l’efectiu al tapet en comptes de lliurar-lo al crupier.Llegeix-ho tot → de $100 apostada en increments de $10 durant 200 tirades ha generat un volum d'apostes de $2.000 i ha comportat uns $54 de pèrdua esperada; la retenció d'aquesta compra és del 54%. Els casinos informen de la retenció; els jugadors haurien de pensar en l'avantatge.
Per què totes les apostes tenen el mateix avantatge
És una decisió de disseny, no una coincidència. La regla 36/n − 1 es va fixar al segle XVIII i el doble zerovariantDoble zeroLa casella 00 del cilindre americà. La seva presència eleva l’avantatge de la casa del 2,70% al 5,26%.Llegeix-ho tot → es va eliminar més tard sense tocar els pagaments. Si els pagaments haguessin estat justos per a 37 casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot →, el ple pagaria 36 a 1 i el casino no tindria ingressos. L'avantatge uniforme és pràctic: cap aposta de ruleta no és una «aposta de beneits» respecte d'una altra, amb l'única excepció de l'aposta americana de cinc nombres, amb un 7,89%.
Què no és l'avantatge de la ruleta
No és la probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → de perdre una sessió; la majoria de sessions curtes les decideix la variànciamatemàtiquesVariànciaMesura de com es dispersen els resultats al voltant del valor esperat. És alta per al ple i baixa per a les apostes de diners iguals.Llegeix-ho tot →, i prop del 42% de les sessions de 100 tirades amb apostes de diners iguals acaben en positiu. No és una comissió per sessió; augmenta amb el volum d'apostesdinersVolum d’apostesL’import total apostat durant una sessió o un període, incloent-hi els guanys reapostats. També: handle, action.Llegeix-ho tot →, de manera que una progressióestratègiaProgressióQualsevol regla que modifica l’aposta segons els resultats anteriors. Les progressions negatives l’augmenten després de les pèrdues; les positives, després dels guanys.Llegeix-ho tot → que aposta més paga més. No és una cosa que un patró d'apostes pugui diluir, perquè els avantatges de les apostes simultànies se sumen en proporció als seus imports.
En diners
Per cada $1.000 apostats, la pèrdua esperada és de $27,03 a la ruleta europeavariantRuleta europeaCilindre d’un sol zero, 37 caselles, avantatge de la casa del 2,70%. El model de referència d’aquest lloc.Llegeix-ho tot →, de $52,63 a l'americana i de $13,51 en apostes de diners igualsapostaAposta de diners igualsVermell/negre, senar/parell, passa/manca. 18 números, paga 1:1.Llegeix-ho tot → amb la partagereglaLa partageRegla francesa: quan surt el zero, es retorna la meitat d’una aposta de diners iguals. Redueix a la meitat l’avantatge de la casa d’aquestes apostes, fins a l’1,35%.Llegeix-ho tot →. Un habitual que aposta $500 cada vespre, dues vegades per setmana, durant un any ha generat un volum d'apostes de $52.000 i ha pagat uns $1.400 d'avantatge en un cilindre europeu. La xifra és petita per tirada i implacable per any.
Per tirada o per aposta resolta
Gairebé totes les apostes de ruleta es resolen en una tirada, de manera que l'avantatge per tirada i l'avantatge per aposta són la mateixa xifra. Una aposta que pot quedar igualada i romandre al tapetmaterialTapetLa quadrícula d’apostes impresa a la taula. També: taula, feltre, drap.Llegeix-ho tot → en té dues. L'aposta turquesa de Riverboat Roulette cobreix 3 nombres d'un cilindre americà, paga 2 a 1 si un d'ells surt abans que un dels 8 nombres blancs, i queda igualada en tota la resta. Per aposta resolta perd 2/11 de l'aposta, un 18,18%. Per tirada perd 2/38, un 5,26%, perquè de mitjana una aposta es manté activa durant 38/11 tirades, unes 3,5. Totes dues xifres són correctes. La xifra per tirada compara l'aposta amb la resta de la taula i determina el cost d'una hora; la xifra per aposta resolta diu quina part de cada aposta torna quan finalment es resol.
Quan un casino calcula malament el preu
Tots els avantatges d'aquesta pàgina provenen d'una aritmètica que els casinos normalment calculen bé. De vegades no ho fan. L'octubre de 1994, el Grand Casino de Biloxi, Mississippi, oferia 80 a 1 per tres daus que sumessin 4, i el mateix per 17. Tres daus poden caure de 216 maneres i només 3 sumen 4, de manera que l'aposta retornava 81 × 3/216 = 1,125 per cada unitat apostada: un avantatge del 12,5% per al jugador. Els jugadors se'n van adonar. El casino va perdre uns $180.000 en un dia, va tancar l'aposta i la va reobrir a 60 a 1, cosa que converteix les mateixes 3 possibilitats entre 216 en un avantatge del 15,3% per a la casa. Hunacek (2025), citant Bollman, n'explica la història. Els pagaments estàndard de la ruleta són massa simples per equivocar-se d'aquesta manera; les seves apostes lateralsapostaAposta complementàriaUna aposta opcional addicional associada al joc principal, generalment a una ratxa, a un esdeveniment de bonificació o a un premi acumulat. Gairebé sempre és més costosa que les apostes estàndard.Llegeix-ho tot → inusuals són on val la pena comprovar l'aritmètica.
Apostes laterals en altres jocs de taula
Bollman (2021) posa les apostes principals de blackjack, bacarà, craps i ruleta al costat d'apostes laterals típiques de les mateixes taules. En els tres primers jocs, l'aposta lateral costa més que la principal, sovint moltes vegades més. L'excepció és l'últim joc de la taula: l'avantatge de la ruleta americanavariantRuleta americanaCilindre amb 0 i 00, 38 caselles i un avantatge de la casa del 5,26%. No és el model predeterminat d’aquest lloc web.Llegeix-ho tot → és del 5,26% en les apostes principals, prou alt perquè una aposta lateral com Colors o WINGO pugui ser més barata.
El cost d’una hora, en comparacióApostes laterals a la ruleta
Fórmula
Preguntes
No. És el 2,70% del que apostes. Tornar a apostar els mateixos diners fa que es tornin a apostar.
No. És una proporció. La pèrdua esperada en dòlars augmenta amb l'aposta.
Mesurades per l'avantatge, totes les apostes europees estàndard són iguals; només difereixen en la freqüència amb què guanyen i en el que paguen. Amb la partage, les apostes de diners iguals tenen la meitat de l'avantatge de les altres.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
En un cilindre europeu, un pleapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot → i una aposta al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → costen tots dos un 2,70%, tot i que un cobreix un sol número i l’altre divuit. Per què totes les apostes tenen el mateix avantatge de la casamatemàtiquesAvantatge de la casaLa part de cada aposta que el casino es queda de mitjana: el 2,70% en la ruleta europea.Llegeix-ho tot →?
Mostra la solució
Resposta Cada pagamentdinersPagamentAllò que retorna una aposta guanyadora, expressat com «X a 1» a més de l’aposta retornada.Llegeix-ho tot → es fixa com si el zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot → no hi fos, de manera que cada aposta perd una unitatdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot → en 37 tirades, sigui quina sigui la seva cobertura.
Considera una aposta sobre n números. Paga (36 − n)/n a 1. En 37 tirades guanya, de mitjana, n vegades i en perd 37 − n.
Els guanys aporten n × (36 − n)/n = 36 − n unitats. Les pèrdues costen 37 − n unitats. La diferència és −1 unitat cada 37 tirades, i n s’ha cancel·lat: el resultat és el mateix per a un ple, un quadreapostaQuadreQuatre números que comparteixen una cantonada del tapet, paga 8:1.Llegeix-ho tot → o una dotzenaapostaDotzena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Llegeix-ho tot →. Una unitat perduda de 37 és un 2,70%.
En un cilindre amb N casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot →, la mateixa suma dona (36 − N)/N, de manera que −2/38 = 5,26% en un cilindre americà. L’única aposta que trenca el patró és l’aposta americana de cinc números: la regla diu que hauria de pagar 6,2 a 1, en paga 6 i costa un 7,89%.
El keno, el joc d’estil loteria, reté un 25% o més del que s’hi aposta. Si un casino afegís zeros a un cilindre de ruleta i deixés iguals els pagaments, quants zeros caldrien perquè la ruleta fos tan cara com el keno?
Mostra la solució
Resposta Dotze zeros: un cilindre de 48 caselles.
Amb z zeros, el cilindre té 36 + z caselles, i els pagaments continuen suposant-ne 36. Segons la regla del trencaclosques anterior, cada aposta perd z unitats en 36 + z tirades, de manera que l’avantatge de la casa és z/(36 + z).
Igualem-ho a un quart: 4z = 36 + z, de manera que z = 12. Dotze zeros en un cilindre de 48 caselles costarien un 25%.
El cilindre de triple zero de la Strip de Las Vegas, la ruleta més cara que trobaran la majoria de jugadors, en té una quarta part.
zeroscasellesavantatge de la casa1372,70%2385,26%3397,69%44010,00%124825,00%La Loteria de Massachusetts va llançar el 2023 un cilindre amb 36 números i sense zero. Un sol número paga 25 a 1, i vermell, negreapostaNegreAposta de diners iguals als 18 números negres. En francès: noir.Llegeix-ho tot →, senar o parell paga 3 a 2. Sense zero, és més barata que la ruleta?
Mostra la solució
Resposta No, és molt més cara: 30,56% en un número i 25% en vermell o negre, davant del 2,70% d’un cilindre europeu.
«Per» inclou l’aposta. Una aposta d’$1 a un número retorna $25 una vegada cada 36 sortejos de mitjana: $25 de tornada per $36 apostats, una pèrdua d’$11 de 36, un 30,56%.
Una aposta de $2 al vermell retorna $3 la meitat de les vegades: $3 de tornada per cada $4 apostats, una pèrdua del 25%.
Un zero és només una manera de fixar un preu. La ruleta paga com si hi hagués 36 caselles i n’afegeix una 37a; aquest cilindre té 36 caselles i simplement paga menys. Bollman (2024) ho planteja com a exercici.
Un casino vol una nova aposta als onze números primersmatemàtiquesNombre primerUn nombre enter superior a 1 que només és divisible exactament per 1 i per si mateix: 2, 3, 5, 7, 11, 13, etcètera.Llegeix-ho tot → de l’1 al 36: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 i 31. Quant hauria de pagar perquè costés el mateix 2,70% que qualsevol altra aposta en un cilindre europeu? I quant costaria a 2 a 1?
Mostra la solució
Resposta 25 a 11, aproximadament 2,27 a 1. A 2 a 1 costaria un 10,81%.
Fes servir la regla del primer trencaclosques: una aposta sobre n números paga (36 − n)/n a 1. Amb n = 11, això és 25/11 a 1, un pagament incòmode, ja que una fitxadinersFitxaFitxa que representa un import fix i es col·loca sobre el tapet per fer una aposta. També: check.Llegeix-ho tot → de $10 guanyaria $22,73.
A 2 a 1, una aposta d’$1 guanya $2 en 11 de cada 37 tirades i perd $1 en les altres 26: 22 − 26 = −4 unitats cada 37 tirades, un 10,81%.
Per això la ruleta ofereix apostes sobre 1, 2, 3, 4, 6, 12 i 18 números: 36 és divisible per cadascun, de manera que el pagament just és un nombre enter. Taylor (2021) planteja l’exercici amb deu primers; n’hi ha onze.
Alleujament còmic
1/37 de cada aposta, en cada aposta, en cada tirada.
Fonts
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2a ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.