Convergència a llarg termini: la llei dels grans nombres a la ruleta
Com la mitjana s’estabilitza cap a −2,70% i per què això triga més del que suggereix la intuïció.
La pèrdua mitjana per tirada convergeix a −1/37 a mesura que s’acumulen les tirades, amb una dispersió que es redueix com 1/√N. Després de 1.000 tirades al vermell, la mitjana sol trobar-se dins d’un marge de ±3% respecte del seu valor esperat.
Llei dels grans nombres
La mitjana acumulada d’apostes independents tendeix al valor esperatmatemàtiquesValor esperatEl resultat mitjà per aposta a llarg termini. −1/37 de l’aposta per a cada aposta europea estàndard.Llegeix-ho tot →. Després de N tirades de diners iguals d’una unitatdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot →, el resultat mitjà per tirada té esperança −1/37 i desviació estàndardmatemàtiquesDesviació estàndardL'arrel quadrada de la variància; la distància típica entre un resultat i el valor esperat.Llegeix-ho tot → 1/√N. Amb N = 100 aquesta dispersió és el 10% de l’aposta, gairebé quatre vegades el senyal de 2,7%. Amb N = 1.000 és 3,2%, aproximadament igual que el senyal. Amb N = 10.000 és 1%, i l’avantatge es veu clarament. L’avantatge és invisible en una sessió i inconfusible en un any.
Què convergeix i què no
La mitjana per tirada convergeix. El total no: s’allunya cada cop més de zero a mesura que N creix, en uns 2,7% de N d’esperança, amb una dispersió de √N al voltant d’aquesta xifra. S’espera que un jugador que hagi fet 10.000 tirades de $10 perdi $2.700, amb una desviació d’uns $1.000. La proporció acumulada de vermellsapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → ja s’ha estabilitzat prop del 48,65%; el saldo acumulat no s’ha estabilitzat enlloc.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Per què falla la intuïció
La gent espera que l’avantatge es manifesti de pressa perquè 2,70% sembla molt, i que les ratxes llargues «s’equilibrin» perquè la llei dels grans nombresmatemàtiquesLlei dels grans nombresLa mitjana de resultats independents convergeix cap al valor esperat a mesura que creix el nombre de proves.Llegeix-ho tot → diu que les mitjanes convergeixen. Totes dues intuïcions calculen malament l’escala: l’avantatge és petit en relació amb la variànciamatemàtiquesVariànciaMesura de com es dispersen els resultats al voltant del valor esperat. És alta per al ple i baixa per a les apostes de diners iguals.Llegeix-ho tot → d’una sola tirada (σ = 1 unitat davant d’EV = 0,027), de manera que calen (1/0,027)² ≈ 1.400 tirades perquè es faci visible amb una sigma. I la convergència de la mitjana no fa res per tornar el total enrere; només dilueix les fluctuacions passades.
Convergència en altres apostes
Per als plensapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot → σ = 5,84, de manera que el mateix càlcul dona (5,84/0,027)² ≈ 47.000 tirades perquè l’avantatge arribi a una sigma. Un jugador de plens pot jugar durant anys sense que l’avantatge es pugui distingir de la sort en els seus propis registres, mentre paga exactament el mateix 2,70% que el jugador al vermell que el veu al cap de poques setmanes.
Implicació per provar sistemes
Qualsevol que afirmi que un sistema funciona hauria de poder mostrar-lo durant 10.000 tirades o més amb una mitjana positiva documentada. Amb 1.000 tirades, una mitjana positiva en diners iguals té una probabilitat d’una entre cinc sota la hipòtesi nul·la; amb 100 tirades és gairebé com llançar una moneda. Els simuladors d’aquest lloc executen en un segon 2.000 sessions de la durada que triïs, una evidència superior a qualsevol testimoni.
Fórmula
Preguntes
La probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → de tornar a anar per davant tendeix a zero a mesura que jugues. El total deriva cap avall sense límit.
No. Vol dir que les fluctuacions passades esdevenen una fracció més petita d’una mostra més gran.
En diners iguals, unes 10.000 abans que l’avantatge es vegi clarament. En plens, unes 50.000.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
Dos amics juguen 20 rondes d’un joc equitatiumatemàtiquesJoc justUn joc en què cap de les dues parts no té avantatge: a cada aposta, el valor esperat és zero.Llegeix-ho tot →, a cara o creu o vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → contra negreapostaNegreAposta de diners iguals als 18 números negres. En francès: noir.Llegeix-ho tot → amb els zeroscilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot → retornats, i anoten un marcador acumulat. Compta les rondes durant les quals cadascun va al davant (un empat compta per a qui liderava just abans). Què és més probable: que el lideratge es reparteixi 10 rondes a 10, o que un amic lideri les 20?
Mostra la solució
Resposta Que un amic lideri les 20 rondes és molt més probable: 35,2%, comptant qualsevol dels dos, davant del 6,1% d’un repartiment igual de 10 a 10.
La probabilitat que un marcador acumulat equitatiu estigui empatat després de 2k rondes és u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 després de 10 rondes i 0,176 després de 20. Un resultat clàssic, la llei de l’arc sinus, diu que la probabilitat que un amic concret lideri exactament 2k de 2n rondes és u(2k) × u(2n − 2k).
Liderar les 20: u(20) × u(0) = 0,176 per a cada amic, 35,2% per a qualsevol dels dos. Repartiment igual: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, el repartiment menys probable de tots.
Així, en un joc equitatiu el lideratge rarament canvia de mans. Un jugador que ha anat al davant tota la nit, o per darrere tota la nit, no ha vist res d’estrany, i això no diu res del cilindre ni de la seva habilitat. Epstein (2013) dona la mateixa llei per a jocs més llargs: la meitat de les vegades, el costat més afortunat lidera més del 85% del joc.
Alleujament còmic
La mitjana convergeix. El total simplement s’allunya.
Fonts
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.