Risc de ruïna
La probabilitat de perdre tot el capital de joc abans d'arribar a un objectiu.
Per a apostes de diners iguals, el risc de ruïna segueix la fórmula de la ruïna del jugador. Amb un capital de joc de $500, apostes de $10 i un objectiu de $600, arribes a l'objectiu aproximadament el 57% de les vegades i fas fallida la resta.
La pregunta
Tens a unitatsdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot → de capital de jocdinersCapital de jocLa quantitat total reservada per jugar. La gestió del capital de joc consisteix a decidir quant n’arrisques en cada aposta i sessió.Llegeix-ho tot → i vols arribar a a + b unitats, apostant una unitat cada vegada en una aposta de diners igualsapostaAposta de diners igualsVermell/negre, senar/parell, passa/manca. 18 números, paga 1:1.Llegeix-ho tot → amb probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → de guanyar p = 18/37 i probabilitat de perdre q = 19/37. Quina és la probabilitat d'arribar a l'objectiu abans d'arribar a zero? Pascal, Fermat i Huygens van resoldre aquest problema a la dècada de 1650, i és un dels resultats més antics de la probabilitat.
La fórmula de la ruïna del jugador
P(arribar a l'objectiu) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). El risc de ruïnamatemàtiquesRisc de ruïnaProbabilitat de perdre tot el capital de joc abans d’arribar a un objectiu o a un nombre de tirades.Llegeix-ho tot → és u menys aquest valor. Amb q/p = 19/18 ≈ 1,0556, la proporció creix exponencialment amb el nombre d'unitats, de manera que la fórmula castiga molt les unitats petites: com més apostes calen per arribar a l'objectiu, més vegades es paga el peatge del 2,70% pel camí.
Interpretació
Les unitats més petites perjudiquen. Intentar doblar $500 amb apostes de $10 té èxit el 6% de les vegades; amb una sola aposta de $500 té èxit el 48,6% de les vegades. El joc agosarat, amb menys apostes i més grans, maximitza la probabilitat d'assolir un objectiu en un joc de valor esperat negatiu, perquè minimitza el nombre de vegades que s'aplica l'avantatge. També maximitza la variànciamatemàtiquesVariànciaMesura de com es dispersen els resultats al voltant del valor esperat. És alta per al ple i baixa per a les apostes de diners iguals.Llegeix-ho tot → del que et passa, i acaba el vespre de pressa. El teorema s'anomena «el joc agosarat és òptim» i Dubins i Savage el van demostrar el 1965.
On va començar el problema
La pregunta és més antiga que la ruleta. El 1656 Pascal va proposar a Fermat un trencaclosques: dos jugadors llancen tres daus, començant cadascun amb 12 fitxes; un 11 mou una fitxa en un sentit, un 14 en l'altre. Tots dos el van resoldre, i Huygens, que en va sentir a parlar per una carta del matemàtic Pierre de Carcavi, el va imprimir el 1657 com el cinquè problema del primer llibre sobre probabilitat, amb la resposta i sense demostració. L'onze es pot obtenir de 27 maneres i el catorze només de 15, de manera que cada fitxa es mou a favor del primer jugador 9 vegades de cada 14, i la fórmula anterior, amb 12 fitxes cadascun, fa que tingui aproximadament 1.157 vegades més probabilitat de guanyar-ho tot que de perdre-ho tot. Un avantatge del 2,70% és molt més petit, però la mateixa fórmula mostra què fa al llarg de moltes apostes.
Una aposta agosarada real
L'abril de 2004, Ashley Revell, un jove anglès, va vendre gairebé tot el que posseïa, inclosa la roba, i va dur $135.300 al Plaza de Las Vegas. Després d'algunes apostes petites, va posar tota la quantitat al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot →, una sola vegada. La bolamaterialBolaLa petita bola que es llança per la pista en direcció contrària al rotor. Les boles modernes són d’ivorina o tefló i mesuren 18–21 mm.Llegeix-ho tot → va caure al vermell 7 i va sortir amb $270.600. En un cilindre de doble zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot →, aquella tirada única tenia una probabilitat del 47,37% i li costava de mitjana $7.121, l'avantatge del 5,26% en una aposta. Repartit en apostes de $10, el mateix objectiu hauria estat gairebé impossible. El joc agosarat no fa que l'aposta sigui bona; fa que el camí sigui tan curt com sigui possible.
Risc de ruïna sense objectiu
Si simplement jugues fins que fas fallida o t'atures després de N tirades, la pregunta passa a ser «quina és la probabilitat que el meu capital de joc arribi a zero en N tirades?». No hi ha una forma tancada per a qualsevol N, però els simuladors d'aquest lloc ho calculen: un capital de joc de $500 amb apostes de $10 al vermell gairebé mai no fa fallida en 100 tirades (menys de l'1%), fa fallida prop del 9% de les vegades en 500 tirades, i prop del 95% en 5.000. Sense regla d'aturada, la probabilitat tendeix al 100%, que és la versió a llarg termini de l'avantatge de la casamatemàtiquesAvantatge de la casaLa part de cada aposta que el casino es queda de mitjana: el 2,70% en la ruleta europea.Llegeix-ho tot →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Convergència a llarg termini: la llei dels grans nombres a la ruleta
Quant temps, i fins a quin punt per davant
Dos resultats clàssics més responen preguntes que els jugadors es fan realment. Sense objectiu, les apostes planes de diners iguals duren de mitjana 37 tirades per cada unitat de capital de joc en un cilindre europeu i 19 en un d'americà, perquè cada tirada pren de mitjana 1/37 d'una unitat (1/19 en un cilindre americà): 100 unitats duren de mitjana 3.700 tirades, tot i que la meitat d'aquestes sessions s'acaben abans de 3.134 (vegeu Durada i cost de la sessió). I per gran que sigui el capital de joc, la probabilitat en un cilindre europeu d'estar mai k unitats per davant és (18/19)ᵏ. És del 95% per una unitat i del 58% per deu, però cap capital de joc, per gran que sigui, dona ni tan sols una probabilitat del cinquanta per cent d'estar mai 13 unitats per davant; en un cilindre americà la probabilitat és (9/10)ᵏ i baixa per sota de la meitat a 7 unitats.
Durada i cost de la sessióCilindre i regles de la ruleta americana
Un capital de joc per a una probabilitat del cinquanta per cent
Gira la pregunta: quants diners cal portar per tenir almenys una probabilitat del cinquanta per cent de guanyar una quantitat determinada abans de perdre-ho tot? Per a un guany petit, no gaire. Per a un de més gran, el capital de joc necessari puja molt, i després d'un punt cap capital de joc és suficient, perquè fins i tot un d'il·limitat dona menys d'una probabilitat del cinquanta per cent d'arribar mai tan endavant. Taylor (2021) ho diu d'una altra manera: en un cilindre americà, per tenir una probabilitat del cinquanta per cent d'arribar a 100 unitats has de començar amb 94, arriscant 94 per guanyar 6. En un cilindre europeu en necessitaries 88.
La lliçó pràctica
Decideix què vols fer. Si l'objectiu és un guany específic, fes poques apostes, però grans. Si l'objectiu és una nit llarga, aposta poc i accepta que l'avantatge s'endurà el 2,70% d'un gran volum d'apostesdinersVolum d’apostesL’import total apostat durant una sessió o un període, incloent-hi els guanys reapostats. També: handle, action.Llegeix-ho tot →. Si l'objectiu és totes dues coses, alguna cosa ha de cedir, i sol ser l'objectiu.
Fórmula
Preguntes
La martingalaestratègiaMartingalaUna progressió que duplica l’aposta després de cada pèrdua. Consulta la secció Estratègia per saber què fa i què no fa.Llegeix-ho tot → el redueix en sessions curtes i l'augmenta molt en les llargues. L'aposta planaestratègiaAposta planaApostar el mateix import a cada tirada. La referència amb què es compara tota progressió.Llegeix-ho tot → amb una unitat més gran és la manera honesta de reduir-lo.
La fórmula anterior és per a diners iguals. Per a apostes d'alta variància, la ruïna és més probable amb apostes petites i l'objectiu s'assoleix de manera més irregular; fes servir la calculadora.
Cada pas cap a l'objectiu és una mica menys probable que cada pas cap a la ruïna; la proporció es multiplica al llarg del nombre de passos.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
Tens $100 i vols arribar a $1.000 apostant només al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot →. Pla u: aposta $1 cada vegada. Pla dos: aposta tot el que tens fins que superis $500 i després aposta només el necessari per arribar a $1.000. Quin pla és millor, i en quina mesura?
Mostra la solució
Resposta El pla dos, de molt. Arriba a $1.000 aproximadament el 9,0% de les vegades, prop del 10% d’un joc equitatiu. El pla u té èxit unes 7 vegades de cada 10²².
En un joc equitatiumatemàtiquesJoc justUn joc en què cap de les dues parts no té avantatge: a cada aposta, el valor esperat és zero.Llegeix-ho tot → arribaries a $1.000 des de $100 una vegada de cada deu, fessis el que fessis, perquè el valor mitjà dels teus diners es manté en $100.
L’avantatge treu el 2,70% de cada aposta, de manera que, com menys apostis en total, més a prop et mantens d’una possibilitat entre deu. El pla dos ho resol en un grapat d’apostes: $100 es converteixen en $200. $400. $800, i després n’hi ha prou amb $200. Té èxit aproximadament el 9,0% de les vegades. El pla u necessita milers d’apostes abans que acabi el recorregut, i l’avantatge, petit en cadascuna, s’acumula fins a una ruïna gairebé segura.
Aquest és el resultat de Dubins–Savage en la forma més simple (Epstein, 2013): en un joc que afavoreix la casa, aposta tant com necessitis, el mínim nombre de vegades possible.
Tens $500 i vols arribar a $1.000; t’atures tan bon punt els tinguis. Tries un tipus d’aposta i el repeteixes fins que guanya una vegada o s’acaben els diners. Quin tipus dona la millor probabilitat?
Mostra la solució
Resposta Una sola aposta de $500 al vermell: 48,6%. Qualsevol pla que reparteixi els diners en apostes més petites és pitjor.
Tria cada aposta de manera que n’hi hagi prou amb un guany: $30 a un pleapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot → guanyen $1.050. $60 a un cavallapostaCavallDos números adjacents, paga 17:1.Llegeix-ho tot → guanyen $1.020, i així successivament. Després compta la probabilitat que guanyi almenys una aposta abans que s’acabin els diners. Setze plens de $30 fallen tots amb probabilitat (36/37)¹⁶ = 64,5%, de manera que s’arriba a $1.000 el 35,5% de les vegades.
La taula mostra cada aposta. El vermell és la millor perquè s’hi arriba amb una sola aposta, de manera que l’avantatge es paga una vegada, sobre $500. La sisenaapostaSisenaSis números en dues files adjacents, paga 5:1. En francès: sixain.Llegeix-ho tot → queda segona perquè només en necessita tres. Una sola aposta a la dotzenaapostaDotzena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Llegeix-ho tot → és la pitjor, una probabilitat de 12/37; fins i tot feta en unitatsdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot → de $250 fins que tinguis $1.000 o més, la dotzena només hi arriba el 46,4% de les vegades.
Bollman (2024) construeix la mateixa taula per a un cilindre americà. A la fila de la dotzena hi ha una errada: hauria de dir 12/38 = 31,6%.
apostaaposta × nombre d’apostesprobabilitat d’arribar a $1.000Ple$30 × 1635,5%Cavall$60 × 835,9%Transversal$90 × 534,5%Quadre$125 × 436,7%Sisena$166, $166, $16841,2%Dotzena$500 × 132,4%Vermell$500 × 148,6%Apostes una unitat al vermell, tirada rere tirada, amb un capital de jocdinersCapital de jocLa quantitat total reservada per jugar. La gestió del capital de joc consisteix a decidir quant n’arrisques en cada aposta i sessió.Llegeix-ho tot → que no s’acaba mai. Després de la primera tirada estàs una unitat amunt o avall. Quina és la probabilitat que alguna vegada tornis a estar exactament igual?
Mostra la solució
Resposta 36 de 37, 97,3%. En un cilindre americà és 36 de 38, 94,7%.
Si la primera tirada guanya (18 vegades de 37), estàs una unitat amunt, i l’avantatge arrossega avall tota sessió infinita, així que tard o d’hora tornaràs a passar per l’empat: això és segur. Si perd (19 vegades de 37), has de pujar una unitat, i la probabilitat d’estar alguna vegada una unitat per davant és 18/19 (vegeu la taula anterior).
En conjunt: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
En general, la probabilitat és 1 menys la diferència entre les probabilitats de guanyar i perdre una tirada: 1 − 1/37 en un cilindre europeu, 1 − 2/38 en un d’americà. En un joc sense zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot → la diferència és nul·la i la probabilitat és 1: el marcador sempre torna a l’empat. Epstein (2013) dona la regla general.
El problema de Pascal de 1656: dos jugadors llancen tres daus, amb 12 fitxes cadascun al principi. Cada 11 desplaça una fitxa al primer jugador i cada 14 una al segon; els altres llançaments no compten. Quina probabilitat té el primer de guanyar les 24 fitxes? I si en comptes d’això apostes 1 unitat al vermell a cada tirada contra un amic que fa de banca, amb 12 unitats cadascun, quina probabilitat tens de guanyar les 24?
Mostra la solució
Resposta El primer jugador guanya unes 1.157 vegades de cada 1.158. Tu, al vermell, guanyes les 24 unitats només aproximadament el 34% de les vegades.
Amb tres daus s’obté 11 de 27 maneres i 14 de 15, de manera que cada fitxa que es mou va al primer jugador 27 vegades de 42, 9 de 14. Amb 12 per banda al principi, la probabilitat d’endur-se tot és 1/(1 + r¹²), on r és la proporció entre la probabilitat de l’altre i la teva.
Per al primer jugador r = 5/9, i (5/9)¹² ≈ 0,00086, de manera que la probabilitat és aproximadament 0,99914: probabilitats de 9¹² a 5¹², o 282.429.536.481 a 244.140.625, aproximadament 1.157 a 1. Huygens va publicar exactament aquests nombres el 1657.
Al vermell, r = 19/18 a causa del zero, i (19/18)¹² ≈ 1,913: la teva probabilitat és 1/2,913 ≈ 34,3%. Amb una moneda seria 50%. L’avantatge del 2,70% en cada aposta s’acumula, al llarg de les moltes apostes necessàries, fins a una diferència de 16 punts.
Alleujament còmic
El joc agosarat és òptim. També s'acaba de pressa.
Fonts
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2a ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2a ed.
- Carcavi, P. de. Carta a Huygens, 28 de setembre de 1656, sobre el problema que Pascal va plantejar a Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”