Probabilitat de les ratxes a la ruleta
Les ratxes llargues d'un color són habituals. No signifiquen res per a la tirada següent.
Cinc vermells seguits: 2,7%. Deu: 0,074%. En una sessió de 200 tirades, una ratxa de sis d'un color apareix més sovint que no.
Amb quina freqüència arriba una ratxa perdedora
Una aposta de diners iguals en un cilindre d’un sol zero perd en 19 de cada 37 tirades. Cada fila mostra la probabilitat que una seqüència concreta de tirades siguin totes pèrdues i el que ha perdut fins llavors un jugador de martingala, que dobla després de cada pèrdua.
| pèrdues seguides | probabilitat | sobre 1 en | pèrdues acumulades | següent aposta |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
La probabilitat és 19/37 multiplicat per si mateix una vegada per cada pèrdua, a partir d’una tirada concreta. Una sessió llarga té moltes tirades on pot començar una ratxa així, de manera que al llarg d’una vetllada és molt més probable del que suggereix una fila.
Una sola ratxa
La probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → que les k tirades següents siguin totes vermellesapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → és (18/37)ᵏ. Dues: 23,7%. Cinc: 2,7%. Deu: 0,074%, aproximadament 1 de cada 1.350. Vint: 1 de cada 1,8 milions. Vint-i-sis, el rècord de Montecarlo: 1 de cada 137 milions. Són probabilitats d'una ratxa concreta que comença en una tirada concreta, que gairebé mai no és la pregunta que realment es fa.
En una sessió
La pregunta que es fa la gent és «apareixerà una ratxa de k en algun moment de la meva sessió?», i la resposta és molt més gran que (18/37)ᵏ perquè una sessió de 200 tirades ofereix gairebé 200 punts d'inici. Una ratxa de sis o més del mateix color, vermell o negreapostaNegreAposta de diners iguals als 18 números negres. En francès: noir.Llegeix-ho tot →, apareix en una sessió de 200 tirades aproximadament el 94% de les vegades; de vuit o més, aproximadament el 47%; de deu o més, aproximadament el 14%. Si anomenes el color per endavant, les probabilitats baixen a aproximadament 75%, 27% i 7%. Qui passa una vetllada jugant veurà ratxes llargues cada vespre.
Per què importa a la martingala
Cada progressióestratègiaProgressióQualsevol regla que modifica l’aposta segons els resultats anteriors. Les progressions negatives l’augmenten després de les pèrdues; les positives, després dels guanys.Llegeix-ho tot → negativa té una longitud de ratxa que la trenca: sis pèrdues amb una base de $10 i un límit de $500, deu per a FibonacciestratègiaFibonacciProgressió que segueix la seqüència 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un pas endavant després d’una pèrdua, dos passos enrere després d’un guany.Llegeix-ho tot →, cinc en triplicar sobre dotzenesapostaDotzena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Llegeix-ho tot →. La probabilitat d'una ratxa de sis pèrdues en diners iguals és (19/37)⁶ ≈ 1,8% per intent, i una sessió de 200 tirades pot contenir 100 intents; així, la ruptura arriba aproximadament en quatre sessions de cada cinc d'aquesta durada. La probabilitat de ratxes a la ruleta explica per què el precipici no és rar.
Nombres calents i freds
La mateixa aritmètica s'aplica als plensapostaPleUn sol número, paga 35:1.Llegeix-ho tot →. En 300 tirades, el recompte esperat per nombre és 8,1; la desviació estàndardmatemàtiquesDesviació estàndardL'arrel quadrada de la variància; la distància típica entre un resultat i el valor esperat.Llegeix-ho tot → és d'uns 2,8. Per atzar sol, cada vegada algun nombre tindrà 15 encerts i algun altre 2. Un tauler de resultats que destaca nombres «calents» destaca el capdamunt d'una distribució normal. El Laboratori explica quantes tirades calen abans que un nombre calentmiteNúmero calentUn número que ha sortit més sovint del que s’esperava darrerament. En un cilindre equilibrat, no prediu res.Llegeix-ho tot → signifiqui res: milers, d'un cilindre identificat.
La independència és el punt essencial
Una ratxa de deu vermells no fa el negre més probable, ni tampoc fa el vermell més probable. Tots dos són 18/37. Les ratxes són una propietat de les seqüències aleatòries i la seva absència seria sospitosa: una seqüència de 200 tirades sense cap ratxa més llarga de quatre seria una evidència de manipulació molt més forta que una amb una ratxa de dotze.
Fórmula
Preguntes
Els 26 negres a Montecarlo el 18 d'agost de 1913 són el cas famós. El 1943 es va informar de 32 vermells seguits en un casino americà. Tots dos són compatibles amb l'atzar, atès el nombre de tirades que fan els casinos.
És 18/37 en tots dos casos. Aposta el que digui el teu pla, o no apostis.
No. El biaix es manifesta en casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot → que surten més sovint al llarg de milers de tirades, no en ratxes de color.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
Quantes tirades d’un cilindre europeu calen, de mitjana, perquè hagin sortit almenys una vegada tots els 37 números?
Mostra la solució
Resposta Unes 155 tirades de mitjana; la mediana és 147.
Compta l’espera d’un número nou cada vegada. La primera tirada sempre mostra un número nou. Un cop n’has vist 1, 36 casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot → de 37 són noves, així que el número nou següent tarda 37/36 tirades de mitjana. Quan n’has vist k, tarda 37/(37 − k).
Suma les esperes: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 tirades.
La major part és al final. Només l’últim número tarda 37 tirades de mitjana, i els últims cinc unes 85. En un cilindre americà la mateixa suma dona unes 161. És el problema del col·leccionista de cupons; la mateixa mitjana s’obté amb el càlcul estàndard.
En 37 tirades d’un cilindre europeu, una per cada casella, quants números diferents esperaries veure?
Mostra la solució
Resposta Uns 23,6. Aproximadament un terç dels números, uns 13, no surt gens.
Pren un número, per exemple el 17. A cada tirada no surt amb probabilitat 36/37, així que falta a totes 37 tirades amb probabilitat (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Tots els números tenen la mateixa probabilitat, de manera que de mitjana falten 37 × 0,363 ≈ 13,4 números i en surten 37 − 13,4 ≈ 23,6, molts dues vegades o més.
Els jugadors de ruleta en diuen la llei dels terços. No és cap llei, sinó només l’aritmètica de les repeticions: en una sèrie tan llarga com el cilindre, aproximadament un terç dels números no surten, en un cilindre equitatiu com en qualsevol altre. Amb 38 caselles la proporció també és (37/38)³⁸ ≈ 0,363; per a un cilindre gran s’estabilitza prop d’1/e ≈ 0,368.
Un amic et mostra dues llistes de 50 colors, vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → o negreapostaNegreAposta de diners iguals als 18 números negres. En francès: noir.Llegeix-ho tot →, que diu que provenen d’un cilindre sense zeroscilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot →. En una, el color canvia 25 vegades i la ratxa més llarga és de sis. En l’altra, canvia 35 vegades i no hi ha cap ratxa de més de tres. Quina és inventada?
Mostra la solució
Resposta La segona. Una llista real canvia unes 24 o 25 vegades. Una amb 35 canvis apareix aproximadament una vegada cada 500 llistes, i una sense cap ratxa de més de tres, unes dues de cada 100.
Cada color nou repeteix l’anterior o canvia, meitat i meitat; per tant, les 49 oportunitats de canvi donen 24,5 canvis de mitjana, amb una variació d’uns 3,5. Trenta-cinc són tres d’aquestes variacions per sobre de la mitjana; un cilindre equitatiu en produeix tants aproximadament una vegada cada 500 llistes.
Les ratxes diuen el mateix. Una llista real de 50 té una ratxa de quatre o més en prop del 98% dels casos, i la ratxa més llarga acostuma a ser de cinc o sis.
Les persones a qui es demana que inventin una llista aleatòria canvien massa sovint perquè una ratxa de quatre o cinc els sembla un patró. Taylor (2021) mostra el mateix indici en llistes de llançaments de moneda inventades per estudiants: l’aleatorietat real té més ratxes del que la gent espera.
Un llibre d’històries de casino parla d’un jugador a qui li va sortir el seu número cinc vegades seguides i ho presenta com un rècord. Com n’és de rar en un cilindre europeu? I amb quina freqüència hauria de passar en algun lloc d’un casino amb 20 taules, cadascuna amb 40 tirades per hora, de dia i de nit?
Mostra la solució
Resposta Un número concret cinc vegades seguides: 1 de cada 69 milions. Qualsevol número que es repeteixi quatre vegades després de sortir: 1 de cada 1,87 milions. Aquest casino fa uns 7 milions de tirades l’any, així que hauria de veure una ratxa de cinc tres o quatre vegades l’any.
Un número concret surt amb probabilitat 1/37 a cada tirada, de manera que cinc seguides tenen probabilitat (1/37)⁵ = 1 de cada 69.343.957. Però ningú no tria el número per endavant. Sigui quin sigui el primer que surt, les quatre tirades següents l’han de repetir: (1/37)⁴ = 1 de cada 1.874.161.
20 taules × 40 tirades × 24 hores × 365 dies = 7.008.000 tirades l’any. Cada tirada pot iniciar una ratxa, així que el casino espera 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 ratxes de cinc l’any.
No existeix cap rècord oficial d’aquesta mena, ni cal: un fet rar en una taula és habitual a l’escala d’un casino, i les històries s’expliquen sobre la taula on va passar. La història, de Goldman (2007), se situa en un cilindre de doble zero, on les xifres són 1 de cada 79 milions i 1 de cada 2,09 milions.
Alleujament còmic
Les ratxes llargues són l'aspecte de l'atzar.
Fonts
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2a ed.