Problema: el límit de la taula
Una martingala de $10 en una taula de $500. Amb quina freqüència es trenca, quant perd quan passa i ajuda a pujar el límit?
Sis pèrdues seguides la trenquen: 1,8% per cicle, aproximadament el 60% de les sessions de 100 tirades. El trencament costa $630. Pujar el límit a $5.000 fa el trencament menys freqüent (0,25% per cicle) i més gran ($5.110). La pèrdua esperada per dòlar apostat és del 2,70% a qualsevol límit.
El problema
Un jugador aposta $10 al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → i duplica després de cada pèrdua; es reinicia després d’un guany. El màxim de la taula és $500. (a) Quantes pèrdues consecutives trenquen la progressióestratègiaProgressióQualsevol regla que modifica l’aposta segons els resultats anteriors. Les progressions negatives l’augmenten després de les pèrdues; les positives, després dels guanys.Llegeix-ho tot →? (b) Quina és la probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → per cicle? (c) Què es perd en el trencament? (d) Com canvia les respostes un límit de $5.000? (e) Hi ha algun límit que faci rendible el sistema?
Solucions (a)–(c)
Apostes: 10, 20, 40, 80, 160, 320. La setena seria 640 > 500, de manera que sis pèrdues la trenquen. (b) p(pèrdua) = 19/37 al vermell; (19/37)⁶ = 0,0183, aproximadament 1,8% per cicle. Un cicle dura unes dues tirades de mitjana, de manera que una sessió de 100 tirades té aproximadament 50 cicles i p(almenys un trencament) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, que són 63 unitatsdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot → base, davant dels $10 que el cicle intentava guanyar.
Solució (d)
Amb $5.000: es permeten apostes fins a 2.560; la desena aposta, de 5.120, es rebutja. Nou pèrdues la trenquen: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per cicle, aproximadament l’11% de les sessions de 100 tirades. Pèrdua en el trencament: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. El jugador ha comprat una catàstrofe més rara al preu d’una de més gran. Al llarg de moltes sessions, el cost esperat dels trencaments és p × pèrdua ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per cicle amb el límit de $500 i 0,0025 × 5.110 = $12,8 amb $5.000; és, dins de l’arrodoniment, el mateix nombre, i és la pèrdua esperadamatemàtiquesPèrdua esperadaEl valor esperat multiplicat per l’import total apostat; l’import que es perd de mitjana al llarg d’una sessió o d’un període.Llegeix-ho tot → del cicle menys els $10 que guanyen els cicles reeixits.
Solució (e)
No. Pèrdua esperada per cicle = (aposta total esperada en el cicle) / 37, a qualsevol límit, perquè cada aposta és −1/37 d’ella mateixa. El límit només decideix com es reparteix la pèrdua entre molts guanys petits i poques pèrdues grans. Sense límit i amb un capital de jocdinersCapital de jocLa quantitat total reservada per jugar. La gestió del capital de joc consisteix a decidir quant n’arrisques en cada aposta i sessió.Llegeix-ho tot → infinit, la progressió «funcionaria», en el sentit que mai no es trencaria, i també apostaria una quantitat il·limitada amb una pèrdua esperada del 2,70% d’aquella quantitat il·limitada. El límit de la taulataulaLímit de taulaAposta mínima i màxima permeses. La màxima és el que atura les progressions de duplicació.Llegeix-ho tot → no és el que impedeix que la martingalaestratègiaMartingalaUna progressió que duplica l’aposta després de cada pèrdua. Consulta la secció Estratègia per saber què fa i què no fa.Llegeix-ho tot → funcioni. Ho és l’aritmètica.
Dues taules reals
L’exemple de Thorp és una taula d’$1 amb un màxim de $1.000, en què un jugador espera guanyar $30 per sopar d’un dòlar en un dòlar. Les apostes 1, 2, 4 … 512 permeten deu apostes, de manera que deu pèrdues seguides trenquen la progressió: una vegada cada 785 cicles en un cilindre europeu (una vegada cada 613 en un d’americà), amb un cost de $1.023. Els trenta cicles tenen èxit el 96,2% de les vegades. El 3,8% restant perd uns $1.000, i el resultat mitjà de la vetllada és −$9,17, que és exactament 1/37 dels $339 que els trenta cicles aposten de mitjana. Una taula de $5 amb un màxim de $2.000 no és diferent: apostes fins a $1.280 permeten nou apostes, i el trencament arriba una vegada cada 403 cicles en un cilindre europeu (una vegada cada 323 en un d’americà) i costa $2.555.
Un jugador ric
Dona a la progressió un capital de joc profund en lloc d’un límit baix: 1.000 unitats, una unitat de base i 1.000 tirades al vermell, començant de nou amb una unitat sempre que la duplicació següent sigui superior al que queda. Vam simular un milió d’aquestes vetllades. En un cilindre europeu, el 52% acaba per davant, el 21% ho perd tot i el resultat mitjà és de −124 unitats. Fins i tot en un joc sense zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot →, on cada aposta és justa, només aproximadament el 60% acabaria per davant. La vetllada habitual acaba amb un petit guany; la mitjana la paguen les vetllades que acaben a zero.
La lliçó
Els casinos fixen límits per limitar la seva pròpia variànciamatemàtiquesVariànciaMesura de com es dispersen els resultats al voltant del valor esperat. És alta per al ple i baixa per a les apostes de diners iguals.Llegeix-ho tot →, no per derrotar sistemes. Derrotar la martingala és un efecte secundari que els satisfà, i l’aritmètica la derrotaria igualment. Un jugador que creu que el límit és el problema ha localitzat el precipici i l’ha confós amb el pendent.
Fórmula
Preguntes
Et permet sobreviure fins a un límit més alt, on el trencament és menys freqüent i més gran. La pèrdua esperada per dòlar no canvia.
Apostes 10, 30, 70, 150, 310: el límit de $500 s’assoleix després de cinc pèrdues, i el trencament costa $570. El mateix 2,70%.
Perquè un sol jugador no pugui apostar més del que la reserva del casino pot pagar còmodament. Gestió de la variància.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
Una martingalaestratègiaMartingalaUna progressió que duplica l’aposta després de cada pèrdua. Consulta la secció Estratègia per saber què fa i què no fa.Llegeix-ho tot → comença amb $100 al vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → i es permet com a màxim n apostes per cicle: després de n pèrdues seguides es rendeix i recomença. Escriu el resultat mitjà d’un cicle com a fórmula en n i calcula’l per a 5, 6 i 7 apostes en un cilindre europeu.
Mostra la solució
Resposta La mitjana és 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 per a 5 apostes, −$17,35 per a 6 i −$20,52 per a 7. Permetre més apostes empitjora el cicle mitjà, no el millora.
Un cicle guanya $100 si no es perden totes n apostes, cosa que passa amb probabilitat qⁿ, on q = 19/37. Quan es perden totes, les apostes 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sumen 100 × (2ⁿ − 1). Per tant, la mitjana és 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Aquí 2q = 38/37, una mica més que 1, de manera que (2q)ⁿ creix amb n i la mitjana baixa: n = 5 dona 1,1426 i −$14,26; n = 6 dona 1,1735 i −$17,35; n = 7 dona 1,2052 i −$20,52. Una escala més llarga perd amb menys freqüència, en el 3,6%, 1,8% i 0,9% dels cicles, però cada pèrdua és el doble de gran, i passa més diners per la taula en cada cicle, al 2,70% de cada aposta.
En un cilindre americà 2q = 40/38 i les xifres són −$29,24, −$36,04 i −$43,20 (Taylor, 2021). En un joc sense zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot → 2q = 1, i cada cicle té mitjana exactament zero per llarga que sigui l’escala.
La «martingala gran» duplica l’aposta després d’una pèrdua i hi afegeix una unitatdinersUnitatL’aposta base amb què treballen un sistema o un jugador. Les progressions es descriuen en unitats perquè serveixin a qualsevol taula.Llegeix-ho tot →, de manera que les apostes són 1, 3, 7, 15, 31 … Quantes unitats guanyes quan el primer guany arriba a la 1a, 2a, 3a o k-èsima aposta? Amb una unitat de $10 i un màxim de $500, amb quina freqüència es trenca un cicle, i quin cost mitjà té?
Mostra la solució
Resposta Un guany a la k-èsima aposta deixa k unitats de guany: +1, +2, +3 i així successivament. Amb $10 i $500 el cicle es trenca després de cinc pèrdues, el 3,57% dels cicles, amb −$570. De mitjana un cicle perd $2,32 dels $85,73 apostats: 2,70%.
La k-èsima aposta és 2ᵏ − 1 unitats: 1, 3, 7, 15, 31. Les primeres k − 1 sumen 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Un guany a la k-èsima aposta paga 2ᵏ − 1, de manera que el cicle acaba amb (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unitats de guany: una unitat extra per cada pèrdua anterior.
Amb $10 per unitat les apostes són $10. $30. $70. $150 i $310; la següent, $630, supera el màxim de $500. Cinc pèrdues seguides, (19/37)⁵ = 3,57%, costen 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Mitjana: els guanys aporten $10 × k amb probabilitat (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 per a k = 1 a 5, i el trencament pren $570 amb probabilitat 3,57%; en conjunt, −$2,32. Els diners apostats són de mitjana $85,73 per cicle, i 2,32/85,73 = 2,70%. La martingala ordinària a la mateixa taula es trenca després de sis pèrdues, l’1,83% dels cicles, per −$630, i perd $1,74 dels $64,20 apostats: un altre cop 2,70%.
Un jugador planeja una martingala al vermell amb una primera aposta de $1 en una taula amb límit de $1.000, de manera que són possibles deu apostes: $1. $2. $4 i així fins a $512. Amb quina freqüència un cicle perd les deu, quant tarda això de mitjana, i amb quina freqüència una vetllada de 200 apostes acaba així?
Mostra la solució
Resposta Un cicle perd les deu aproximadament una vegada de 784, i això costa $1.023. Són unes 1.600 apostes de mitjana, i una vetllada de 200 apostes topa amb el límit prop de l’11% de les vegades. Un cicle encara perd $0,31 de mitjana dels $11,31 apostats: 2,70%.
Una aposta al vermell perd amb probabilitat 19/37, zero inclòs. Deu seguides: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, aproximadament 1 de 784. Les apostes 1 + 2 + 4 + … + 512 sumen $1.023.
Un cicle dura 2,05 apostes de mitjana, de manera que 784 cicles són unes 1.600 apostes. Comptat tirada a tirada, una sèrie de deu pèrdues apareix en algun lloc de 200 apostes l’11,3% de les vegades.
Entre desastres, el jugador guanya $1 per cicle: uns $783 abans del dolent i després −$1.023, aproximadament −$240 en tot el tram. Per cicle: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Diners apostats per cicle: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. I −0,31/11,31 = −2,70%.
Compara una primera aposta de $10 amb un límit de $500, sis apostes: s’arriba al límit una vegada cada 55 cicles, i una vetllada de 200 apostes l’hi troba el 84% de les vegades. Un límit més alt fa la caiguda més rara i més gran, no més barata.
Alleujament còmic
Més rar i més gran, a cada límit. El producte és constant.
Fonts
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. «Optimal gambling systems for favorable games».
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2a ed.