Fal·làcia del jugador
La creença que un resultat «ha de sortir» perquè fa temps que no apareix.
Després de deu vermells, la probabilitat de negre continua sent 18/37. El cilindre no guarda cap registre i no deu res.
La fal·làcia
Si ha sortit vermellapostaVermellAposta de diners iguals sobre els 18 números vermells. En francès: rouge.Llegeix-ho tot → deu vegades, molts jugadors senten que el negreapostaNegreAposta de diners iguals als 18 números negres. En francès: noir.Llegeix-ho tot → «ha de sortir» i hi aposten en conseqüència. Altres senten que el vermell està «calent» i hi aposten. Tots dos raonen a partir d'una seqüència que ja ha acabat sobre una tirada que encara no ha passat. La bolamaterialBolaLa petita bola que es llança per la pista en direcció contrària al rotor. Les boles modernes són d’ivorina o tefló i mesuren 18–21 mm.Llegeix-ho tot → no sap quines han estat les deu últimes tirades; les casellesmaterialCasellaUna de les 37 caselles numerades del rotor. També: ranura, alvèol.Llegeix-ho tot → tenen la mateixa mida que fa una hora; la probabilitatmatemàtiquesProbabilitatLa probabilitat d’un resultat, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2,70%.Llegeix-ho tot → de negre és 18/37, com sempre.
Per què sembla certa
A la llarga, les proporcions de vermell i negre convergeixen efectivament cap a 18/37 cadascuna. Ho garanteix la llei dels grans nombresmatemàtiquesLlei dels grans nombresLa mitjana de resultats independents convergeix cap al valor esperat a mesura que creix el nombre de proves.Llegeix-ho tot →. Però la convergència es produeix per dilució, no per correcció: després de 1.000 tirades més, els deu vermells de més són un error d'arrodoniment en la proporció, no perquè el negre hagi recuperat terreny sinó perquè la mostra ha crescut. No hi ha cap mecanisme que faci més probable el negre, i la llei dels grans nombres no n'exigeix cap.
Montecarlo, 18 d'agost de 1913
El negre va sortir 26 vegades seguides en una taula del Casino de Monte-Carlo. Aproximadament a partir del quinzè negre, els jugadors es van abocar al vermell, doblant i redoblant, cada tirada «més segura» que l'anterior. El casino va guanyar milions de francs. La ratxa tenia una probabilitat d'1 de cada 137 milions des del primer negre, i la probabilitat que acabés passant en algun lloc dels casinos del món era pràcticament u. Per això la fal·làcia del jugador també s'anomena fal·làcia de Montecarlo.
Res d'extraordinari. Passa una vegada de cada 44.
Els jugadors comencen a adonar-se'n. El vermell «ha de sortir».
La taula s'omple. Les apostes al vermell es doblen després de cada pèrdua.
Fortunes perdudes. Cada negre nou fa que el vermell sembli més segur.
La ratxa s'acaba. El casino ha guanyat milions de francs de persones que apostaven contra una ratxa que no podia «saber» que era una ratxa.
La mà calenta
Donar suport a un color perquè està en una ratxa és el mateix error capgirat: s'espera que la ratxa continuï en lloc que s'acabi. Els psicòlegs en diuen la mà calentamiteMà calentaLa creença que una ratxa de guanys, o d’un mateix resultat, en fa més probable un altre. Al cilindre, és la fal·làcia del jugador a l’inrevés.Llegeix-ho tot →, arran d'un estudi de 1985 de Gilovich, Vallone i Tversky que va buscar ratxes en tirs de bàsquet i no en va trobar més enllà de l'atzar. El 2018, Miller i Sanjurjo van mostrar que la prova mateixa estava esbiaixada: en un registre curt, de mitjana, la proporció d'encerts just després d'un encert queda per sota de la taxa global del tirador, de manera que un jugador sense cap mà calenta sembla lleugerament fred. Corregides, les mateixes dades mostren una mà calenta modesta. Una persona pot agafar ritme; un cilindre, no. Alguns jugadors mantenen totes dues creences alhora: que una ratxa continua fins que és «massa llarga» i aleshores s'acaba. En un cilindre just, cada versió té el mateix valor esperatmatemàtiquesValor esperatEl resultat mitjà per aposta a llarg termini. −1/37 de l’aposta per a cada aposta europea estàndard.Llegeix-ho tot → que triar un color llançant una moneda: −2,70% de l'aposta.
En una taula real
Croson i Sundali (2005) van observar 18 hores de vídeo de seguretat d'una taula de doble zerocilindreZeroL’única casella verda que no cobreix cap aposta de diners iguals, cap dotzena ni cap columna; l’origen de l’avantatge de la casa. També: zero únic, 0.Llegeix-ho tot → d'un gran casino de Reno: 139 jugadors que van fer 24.131 apostes. En les apostes de diners igualsapostaAposta de diners igualsVermell/negre, senar/parell, passa/manca. 18 números, paga 1:1.Llegeix-ho tot →, els jugadors es dividien més o menys per igual entre seguir les ratxes curtes i oposar-s'hi. Després de cinc resultats iguals seguits, s'inclinaven contra la ratxa, i després de sis o més, el 85% de les apostes eren a l'altre costat. Els mateixos jugadors mostraven la mà calenta en el seu propi joc: després d'un guany en apostes als nombres cobrien de mitjana 13,6 nombres en la tirada següent, contra 9,2 després d'una pèrdua. El seu cilindre no mostrava cap senyal de biaix, de manera que res d'això no canviava el que cap d'ells podia esperar.
Fora del casino
La mateixa tendència apareix allà on es prenen decisions reals. Clotfelter i Cook (1993) van seguir el joc diari de nombres de Maryland: els diners apostats a un nombre baixaven de cop tan bon punt sortia i trigaven mesos a recuperar-se, tot i que el sorteig no té memòria. Chen, Moskowitz i Shue (2016) ho van trobar entre professionals. Els jutges d'asil dels Estats Units tenien fins a 3,3 punts percentuals més de probabilitat de rebutjar un cas si havien concedit l'anterior. Els àrbitres de beisbol tenien 1,5 punts menys de probabilitat de cantar un strike després d'haver-ne cantat un, i més del doble en llançaments ajustats. En un experiment de camp amb agents de préstecs pagats amb una tarifa plana, fins al 9% de les decisions es van invertir d'aquesta manera. Els casos arribaven en ordre aleatori, de manera que l'última decisió no deia res de la següent, igual que l'última tirada no diu res de la següent.
La fal·làcia inversa del jugador
El filòsof Ian Hacking (1987) va anomenar una tercera versió. Algú entra en una habitació, veu un parell de daus que fan doble sis i conclou que deuen haver-se llançat moltes vegades abans. Cada llançament té la mateixa probabilitat de ser doble sis, el primer de la nit o el mil·lèsim, de manera que veure'l no diu res sobre quant fa que dura el joc. A la ruleta és el jugador que arriba a un tauler que mostra vuit vermells i decideix que la taula deu haver girat durant hores per produir-los. La fal·làcia ordinària llegeix el passat en la tirada següent; aquesta llegeix una visió rara en un passat que ningú no ha vist.
Un psicòleg que s'ho creia
La fal·làcia ha tingut defensors il·lustrats. El psicòleg alemany Karl Marbe va examinar quatre registres de 49.152 naixements cadascun, va trobar que la ratxa més llarga de nens o nenes seguits era de 17, i va concloure que les ratxes llargues són més rares del que permet l'atzar, de manera que una ratxa fa més probable l'altre resultat. L'atzar per si sol diu el contrari: en 196.608 naixements, una ratxa de 17 o més apareix aproximadament quatre vegades de cada cinc. Marbe havia trobat exactament l'aspecte d'una seqüència aleatòria. Epstein (2013) n'explica el cas; Probabilitat de ratxes n'ofereix la versió de ruleta.
On no s'aplica la fal·làcia
Si el cilindre tingués un biaix físic, les tirades passades serien informatives, perquè serien indicis sobre les caselles més que no pas sobre la sort. Aquest és el tema del Laboratori, i calen milers de tirades d'un cilindre identificat per poder dir res. Per a una ratxa de deu vermells en un cilindre desconegut, l'explicació del biaix és molt menys probable que la de l'atzar.
Preguntes
No. S'aplica a qualsevol esdeveniment repetit independent: daus, monedes, números de loteria.
Les proporcions s'acostaran. El teu resultat encara serà d'aproximadament −2,70% del que hagis apostat.
No existeix cap llei de les mitjanes. Hi ha una llei dels grans nombres, i funciona per dilució.
Diversió amb les matemàtiques
Prova-ho primer pel teu compte. Cada solució està plegada; obre-la quan estiguis a punt.
Després de 10 llançaments, una moneda mostra 7 cares i 3 creus. Després de 1.000 llançaments, mostra 517 cares i 483 creus. Les creus han recuperat terreny?
Mostra la solució
Resposta No. La diferència ha crescut de 4 a 34. Només la proporció s’ha acostat a la igualtat.
La proporció de cares a creus ha baixat de 7/3, aproximadament 2,33, a 517/483, aproximadament 1,07. Això és la llei dels grans nombresmatemàtiquesLlei dels grans nombresLa mitjana de resultats independents convergeix cap al valor esperat a mesura que creix el nombre de proves.Llegeix-ho tot → en acció.
La diferència entre elles ha crescut, de 4 a 34. Amb una moneda justa, una diferència d’uns 30 després de 1.000 llançaments és normal: la diferència típica creix aproximadament amb l’arrel quadrada del nombre de llançaments, mentre que la proporció s’estabilitza cap a 1.
Res no ha fet tornar les creus. L’excés inicial de cares s’ha diluït amb els 990 llançaments següents, no s’ha corregit.
Llança una moneda quatre vegades i mira només els llançaments que venen just després d’una cara. Quina proporció d’aquests són cares? Calcula-ho per a cadascuna de les 16 seqüències possibles i fes la mitjana de les proporcions. És 50%?
Mostra la solució
Resposta No. És 17/42, aproximadament 40,5%. Vist així, una moneda justa sembla refredar-se després d’una cara.
Enumera les 16 seqüències. Dues, TTTT i TTTH, no tenen cap cara entre els tres primers llançaments, de manera que no segueixen cap cara; en queden 14.
En cadascuna, pren els llançaments que segueixen una cara i troba la proporció que són cares. HHHH dona 3 de 3. HHHT dona 2 de 3. HTHT dona 0 de 2. Repassant les 14: sis seqüències donen 0, quatre donen 1/2, una dona 2/3 i tres donen 1 (HHHH, THHH i TTHH).
Suma les proporcions: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Divideix per 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Cap llançament no afavoreix les creus; cadascun és 50–50. La inclinació prové de fer la mitjana seqüència per seqüència: una seqüència plena de cares té molts llançaments per mirar, però compta una vegada, igual que una seqüència amb només una. Miller i Sanjurjo (2018) van demostrar que l’estudi de la mà calenta de 1985 havia mesurat així els seus jugadors de bàsquet, de manera que els jugadors que semblaven no tenir més ratxes que l’atzar de fet en tenien una mica més.
Alleujament còmic
Dilució, no correcció. El cilindre no deu res.
Fonts
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2a ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”